Алгебра
10 класс
·
§ 5
Функции y = sin x и y = cos x. Их свойства и графики
Учебник:
Алгебра : учебное пособие для 10-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко - Минск: Народная асвета, 2019. ISBN 978-985-03-3152-6 · § 5
Содержание
Главное за минуту
Функции y = sin x и y = cos x определены для всех действительных x, принимают значения от -1 до 1 и имеют наименьший положительный период 2π. Синус является нечетной функцией, косинус - четной. Их графики периодически повторяются и строятся по свойствам функций.
Что нужно понять
- Область определения y = sin x и y = cos x - все действительные числа.
- Множество значений обеих функций - [-1; 1].
- Наименьший положительный период обеих функций равен 2π.
- Функция y = sin x нечетная: sin(-x) = -sin x.
- Функция y = cos x четная: cos(-x) = cos x.
- Нули синуса имеют вид x = πn, n ∈ Z.
- Нули косинуса имеют вид x = π/2 + πn, n ∈ Z.
- sin x достигает значения 1 при x = π/2 + 2πn.
- sin x достигает значения -1 при x = -π/2 + 2πn.
- cos x достигает значения 1 при x = 2πn.
- cos x достигает значения -1 при x = π + 2πn.
- График функции y = sin x называется синусоидой.
Видео
Видео скоро появится
Материалы по теме уже доступны, а видео добавим позже.
Главное по теме
Свойства синуса и косинуса определяют форму их графиков: область значений ограничена, поведение повторяется через 2π, а четность задает симметрию.
Ключевые понятия
Функция y = sin x
Зависимость, при которой каждому действительному числу x соответствует значение sin x.
Функция y = cos x
Зависимость, при которой каждому действительному числу x соответствует значение cos x.
Периодическая функция
Функция, для которой при некотором T ≠ 0 выполняется f(x + T) = f(x - T) = f(x) при всех допустимых x.
Синусоида
График функции y = sin x.
Формулы
Периодичность синуса
sin(x + 2π) = sin x
Периодичность косинуса
cos(x + 2π) = cos x
Нечетность синуса
sin(-x) = -sin x
Четность косинуса
cos(-x) = cos x
Нули синуса
x = πn, n ∈ Z
Нули косинуса
x = π/2 + πn, n ∈ Z
Что нужно запомнить
- D(sin x) = D(cos x) = R.
- E(sin x) = E(cos x) = [-1; 1].
- Период sin x и cos x равен 2π.
- Синус нечетный, косинус четный.
- Синус возрастает на [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].
- Косинус возрастает на [-π + 2πn; 2πn] и убывает на [2πn; π + 2πn].
Проверь себя
Вопрос 1 из 3
Каков наименьший положительный период функции y = sin x?
График синуса повторяется через 2π.
Вопрос 2 из 3
Какая из функций четная?
Для косинуса выполняется cos(-x) = cos x.
Вопрос 3 из 3
Где находятся нули функции y = sin x?
Синус равен нулю при целых кратных π.