Алгебра
10 класс
·
§ 21
Применение производной к исследованию функций
Учебник:
Алгебра : учебное пособие для 10-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко - Минск: Народная асвета, 2019. ISBN 978-985-03-3152-6 · § 21
Содержание
Главное за минуту
Исследование функции с помощью производной включает определение области определения и четности, нахождение нулей и точки пересечения с осью ординат, определение промежутков возрастания и убывания, точек экстремума и экстремумов. Полученные результаты используют для построения графика функции.
Что нужно понять
- Исследование начинают с нахождения области определения функции.
- Затем проверяют функцию на четность или нечетность.
- Нули функции находят из уравнения f(x) = 0.
- Точку пересечения с осью ординат находят по значению f(0), если оно существует.
- Для нахождения промежутков монотонности вычисляют производную.
- Критические точки находят среди точек, где производная равна нулю или не существует.
- Знаки производной позволяют определить промежутки возрастания и убывания.
- Изменение знака производной позволяет определить точки максимума и минимума.
- Экстремум функции является значением функции в соответствующей точке экстремума.
- Результаты исследования удобно систематизировать в таблице.
- При построении графика отмечают точки пересечения с осями и экстремумы.
- Оставшиеся части графика строят с учетом найденных промежутков возрастания и убывания.
Видео
Видео скоро появится
Материалы по теме уже доступны, а видео добавим позже.
Главное по теме
Производная позволяет системно исследовать поведение функции и на основе найденных свойств построить ее график.
Ключевые понятия
Точка экстремума
Точка минимума или точка максимума функции.
Экстремум функции
Минимум или максимум функции, то есть значение функции в соответствующей точке экстремума.
Формулы
Нули функции
f(x) = 0
Пересечение с осью ординат
y = f(0)
Кандидаты в критические точки
f'(x) = 0 или f'(x) не существует
Как это работает
Производная положительна на промежутке
При построении графика функция изображается возрастающей на этом промежутке.
Производная отрицательна на промежутке
При построении графика функция изображается убывающей на этом промежутке.
Производная меняет знак в критической точке
Определяется направление изменения функции слева и справа
Можно установить наличие и вид экстремума.
Что нужно запомнить
- Порядок исследования начинается с области определения.
- Нули функции находят из уравнения f(x) = 0.
- Пересечение с осью y определяется значением f(0).
- Для исследования монотонности и экстремумов используют производную.
- График строят только после анализа основных свойств функции.
Проверь себя
Вопрос 1 из 4
С какого шага начинается алгоритм исследования функции?
Первым пунктом алгоритма в источнике является область определения.
Вопрос 2 из 4
Как находят нули функции?
Нули функции являются решениями уравнения f(x) = 0.
Вопрос 3 из 4
Как находят точку пересечения графика с осью ординат?
На оси ординат абсцисса равна нулю.
Вопрос 4 из 4
Какие свойства непосредственно исследуют с помощью производной?
Знак производной используется для определения возрастания, убывания и экстремумов.