Алгебра
10 класс
·
§ 17
Иррациональные уравнения
Учебник:
Алгебра : учебное пособие для 10-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко - Минск: Народная асвета, 2019. ISBN 978-985-03-3152-6 · § 17
Содержание
Главное за минуту
Иррациональными называют уравнения, содержащие переменную под знаком корня. При возведении обеих частей в четную степень могут появиться посторонние корни, поэтому полученные решения проверяют в исходном уравнении или используют равносильную систему с необходимыми условиями. Для корней нечетной степени преобразование может быть равносильным без таких ограничений.
Что нужно понять
- Иррациональное уравнение содержит переменную под знаком корня.
- Возведение обеих частей уравнения в четную степень может изменить множество решений.
- После такого преобразования без дополнительных условий требуется проверка найденных корней.
- Посторонний корень удовлетворяет преобразованному уравнению, но не исходному.
- Для уравнения с арифметическим корнем правая часть должна быть неотрицательной.
- Уравнение √[2n]{f(x)} = a при a < 0 не имеет корней.
- При a ≥ 0 уравнение √[2n]{f(x)} = a сводится к f(x) = a^(2n).
- Равенство корней одинаковой нечетной степени можно свести к равенству подкоренных выражений.
- В источнике используются способы с проверкой, равносильными системами и свойствами функций.
- Уравнения с несколькими радикалами могут требовать последовательного возведения в квадрат.
Видео
Видео скоро появится
Материалы по теме уже доступны, а видео добавим позже.
Главное по теме
Главная задача при решении иррационального уравнения - удалить радикалы так, чтобы не потерять условия существования выражений и не принять посторонние корни.
Ключевые понятия
Иррациональное уравнение
Уравнение, содержащее переменную под знаком корня.
Посторонний корень
Корень преобразованного уравнения, который не является корнем исходного уравнения.
Формулы
Уравнение с четным корнем
√[2n]{f(x)} = a: при a ≥ 0 получаем f(x) = a^(2n); при a < 0 корней нет
Равенство нечетных корней
√[2n+1]{f(x)} = √[2n+1]{g(x)} ⇔ f(x) = g(x)
Что нужно запомнить
- После возведения в четную степень без дополнительных условий нужна проверка.
- Арифметический корень четной степени не может быть отрицательным.
- Перед преобразованием необходимо учитывать область определения исходных выражений.
- Нечетные корни допускают более прямые равносильные преобразования.
Проверь себя
Вопрос 1 из 3
Как называют уравнение с переменной под знаком корня?
Это определение иррационального уравнения.
Вопрос 2 из 3
Что необходимо сделать после возведения уравнения в квадрат, если не вводились дополнительные условия?
Возведение в четную степень способно породить посторонние решения.
Вопрос 3 из 3
Имеет ли уравнение √[4]{f(x)} = -2 решения?
Арифметический корень четной степени неотрицателен.