Алгебра
10 класс
·
§ 18
Определение производной функции
Учебник:
Алгебра : учебное пособие для 10-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко - Минск: Народная асвета, 2019. ISBN 978-985-03-3152-6 · § 18
Содержание
Главное за минуту
Производная функции y = f(x) в точке - число, к которому стремится отношение приращения функции Δf к приращению аргумента Δx при Δx, стремящемся к нулю. Приращение функции вычисляется как f(x0 + Δx) - f(x0). Производная характеризует мгновенную скорость изменения функции.
Что нужно понять
- При переходе от x0 к x0 + Δx величина Δx называется приращением аргумента.
- Приращение функции равно Δf = f(x0 + Δx) - f(x0).
- Сначала находят отношение Δf/Δx.
- Затем рассматривают, к какому числу стремится это отношение при Δx → 0.
- Полученное число является производной функции в точке x0.
- Производная обозначается f'(x).
- Для функции f(x) = x² производная равна 2x.
- Для линейной функции f(x) = kx + b производная равна k.
- Производная постоянной функции равна 0.
- Для функции f(x) = 1/x производная равна -1/x².
- Если производная существует на промежутке для каждого x, она сама является функцией от x.
- Для функции пути s(t) производная s'(t) дает мгновенную скорость движения.
Видео
Видео скоро появится
Материалы по теме уже доступны, а видео добавим позже.
Главное по теме
Производная получается как предельное значение отношения изменения функции к малому изменению аргумента и описывает скорость изменения функции.
Ключевые понятия
Приращение аргумента
Изменение аргумента Δx при переходе от x0 к x0 + Δx.
Приращение функции
Разность Δf = f(x0 + Δx) - f(x0).
Производная функции в точке
Число, к которому стремится отношение Δf/Δx при Δx → 0.
Формулы
Приращение функции
Δf = f(x0 + Δx) - f(x0)
- x0 Начальное значение аргумента
- Δx Приращение аргумента
- Δf Приращение функции
Определение производной
f'(x0) = lim(Δx→0) Δf/Δx
Производная x²
(x²)' = 2x
Производная линейной функции
(kx + b)' = k
Производная постоянной
C' = 0
Производная 1/x
(1/x)' = -1/x²
Что нужно запомнить
- Производная определяется через отношение Δf/Δx при Δx → 0.
- Сначала находят приращение функции, затем делят его на приращение аргумента.
- Производная в фиксированной точке является числом.
- Производная функции пути дает мгновенную скорость движения.
- (kx + b)' = k и C' = 0.
Проверь себя
Вопрос 1 из 3
Как вычисляется приращение функции?
Приращение функции является разностью нового и первоначального значений функции.
Вопрос 2 из 3
К чему стремится Δx в определении производной?
Производная определяется при Δx, стремящемся к нулю.
Вопрос 3 из 3
Чему равна производная функции f(x) = kx + b?
В источнике по определению получена формула (kx + b)' = k.