Алгебра
10 класс
·
§ 22
Наибольшее и наименьшее значения функции
Учебник:
Алгебра : учебное пособие для 10-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко - Минск: Народная асвета, 2019. ISBN 978-985-03-3152-6 · § 22
Содержание
Главное за минуту
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a; b], находят производную и критические точки, выбирают критические точки внутри отрезка, вычисляют значения функции в них и на концах отрезка, а затем сравнивают результаты. Наибольшее из полученных значений является максимумом на отрезке, а наименьшее - минимумом.
Что нужно понять
- Для поиска наибольшего и наименьшего значений на отрезке применяется производная.
- Сначала находят производную f'(x).
- Затем находят точки, где производная равна нулю или не существует.
- Из найденных критических точек выбирают только принадлежащие отрезку [a; b].
- Значения функции вычисляют в выбранных критических точках.
- Обязательно вычисляют значения функции на концах отрезка a и b.
- Полученные значения сравнивают между собой.
- Наибольшее из них является наибольшим значением функции на отрезке.
- Наименьшее из них является наименьшим значением функции на отрезке.
- Если внутри отрезка нет критических точек, функция на рассматриваемом отрезке возрастает или убывает.
- При отсутствии внутренних критических точек наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.
- Метод используется и для решения практических задач на оптимизацию.
Видео
Видео скоро появится
Материалы по теме уже доступны, а видео добавим позже.
Главное по теме
На замкнутом отрезке кандидаты на наибольшее и наименьшее значения среди рассматриваемых в источнике функций находятся в критических точках и на концах отрезка.
Ключевые понятия
Наибольшее значение функции на отрезке
Наибольшее среди значений функции в рассматриваемых критических точках и на концах отрезка.
Наименьшее значение функции на отрезке
Наименьшее среди значений функции в рассматриваемых критических точках и на концах отрезка.
Формулы
Критические точки
f'(x) = 0 или f'(x) не существует
Наибольшее значение на отрезке
max_[a;b] f(x)
- a, b Концы рассматриваемого отрезка
Наименьшее значение на отрезке
min_[a;b] f(x)
- a, b Концы рассматриваемого отрезка
Как это работает
Внутри отрезка нет критических точек
Функция на отрезке возрастает или убывает
Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.
На отрезке имеются критические точки
Отрезок разбивается этими точками на промежутки монотонности
Для поиска наибольшего и наименьшего значений проверяют критические точки и концы отрезка.
Вычислены значения функции во всех выбранных критических точках и на концах отрезка
Полученные значения сравниваются
Определяются наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Что нужно запомнить
- Для задачи на отрезке всегда проверяйте оба конца отрезка.
- Не все критические точки функции нужно проверять, а только принадлежащие заданному отрезку.
- Критическими являются точки, где производная равна нулю или не существует.
- После нахождения критических точек нужно вычислить значения самой функции.
- Наибольшее и наименьшее значения определяются сравнением полученных чисел.
Проверь себя
Вопрос 1 из 4
Какие точки нужно проверить при поиске наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке?
Алгоритм требует вычислить значения функции в критических точках отрезка и на обоих его концах.
Вопрос 2 из 4
Что делают после нахождения критических точек?
Для данной задачи имеют значение только критические точки внутри рассматриваемого отрезка.
Вопрос 3 из 4
Что нужно сравнивать на последнем шаге алгоритма?
Наибольшее и наименьшее значения выбирают среди вычисленных значений функции.
Вопрос 4 из 4
Где достигаются наибольшее и наименьшее значения, если внутри отрезка нет критических точек?
При отсутствии критических точек функция на отрезке монотонна, поэтому крайние значения достигаются на концах.