Алгебра
10 класс
·
§ 8
Тригонометрические уравнения
Учебник:
Алгебра : учебное пособие для 10-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко - Минск: Народная асвета, 2019. ISBN 978-985-03-3152-6 · § 8
Содержание
Главное за минуту
Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид sin x = a, cos x = a, tg x = a и ctg x = a. Их решения записывают с учетом периодичности соответствующих функций. Более сложные уравнения в источнике сводятся к простейшим с помощью замены переменной, разложения на множители или преобразования однородного уравнения.
Что нужно понять
- Уравнение sin x = a не имеет корней при |a| > 1.
- sin x = 0 имеет решения x = πn.
- sin x = 1 имеет решения x = π/2 + 2πn.
- sin x = -1 имеет решения x = -π/2 + 2πn.
- При |a| < 1 все решения sin x = a можно записать через arcsin a.
- Уравнение cos x = a не имеет корней при |a| > 1.
- Общее решение cos x = a выражается через ±arccos a и период 2π.
- Для любого a ∈ R уравнение tg x = a имеет решения x = arctg a + πn.
- Для любого a ∈ R уравнение ctg x = a имеет решения x = arcctg a + πn.
- Тригонометрические уравнения часто сводятся к простейшим.
- Для уравнений вида af²(x) + bf(x) + c = 0 применяют замену t = f(x).
- Однородное уравнение второй степени по sin x и cos x можно преобразовать к уравнению относительно tg x.
Видео
Видео скоро появится
Материалы по теме уже доступны, а видео добавим позже.
Главное по теме
Решение тригонометрического уравнения состоит в сведении его к одному или нескольким простейшим уравнениям и записи всех решений с учетом периода функции.
Ключевые понятия
Простейшее тригонометрическое уравнение
Уравнение вида sin x = a, cos x = a, tg x = a или ctg x = a.
Однородное тригонометрическое уравнение второй степени
Уравнение, приводимое к виду a sin² x + b sin x cos x + k cos² x = 0.
Формулы
Уравнение sin x = 0
x = πn, n ∈ Z
Уравнение sin x = 1
x = π/2 + 2πn, n ∈ Z
Уравнение sin x = -1
x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z
Уравнение sin x = a
x = (-1)^n * arcsin a + πn, n ∈ Z, |a| < 1
Уравнение cos x = a
x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z, |a| ≤ 1
Уравнение tg x = a
x = arctg a + πn, n ∈ Z
Уравнение ctg x = a
x = arcctg a + πn, n ∈ Z
Что нужно запомнить
- При |a| > 1 уравнения sin x = a и cos x = a не имеют решений.
- Период решений для tanгенса и котангенса равен π.
- Для косинуса в общем решении появляются два симметричных значения ±arccos a.
- После замены переменной необходимо вернуться к исходной тригонометрической функции.
- В ответе нужно учитывать все целые значения параметра n.
Проверь себя
Вопрос 1 из 3
Как решается уравнение tg x = a?
Период тангенса равен π.
Вопрос 2 из 3
Имеет ли уравнение sin x = 2 решения?
Синус принимает значения только в промежутке [-1; 1].
Вопрос 3 из 3
Какой заменой удобно решать уравнение af²(x) + bf(x) + c = 0?
В источнике для такого типа уравнений вводится новая переменная t = f(x).