Алгебра
10 класс
·
§ 20
Геометрический смысл производной. Связь между знаком производной функции и ее возрастанием или убыванием
Учебник:
Алгебра : учебное пособие для 10-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко - Минск: Народная асвета, 2019. ISBN 978-985-03-3152-6 · § 20
Содержание
Главное за минуту
Геометрический смысл производной состоит в том, что f'(x0) равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой x0. Знак производной связан с монотонностью: при f'(x) > 0 функция возрастает, при f'(x) < 0 убывает. Изменение знака производной позволяет определять точки максимума и минимума.
Что нужно понять
- Прямая, проходящая через две точки графика функции, называется секущей.
- Для секущей тангенс угла наклона равен отношению Δf/Δx.
- При Δx → 0 секущая переходит в положение касательной к графику.
- Производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.
- Если f'(x0) > 0, угол наклона касательной острый.
- Если f'(x0) < 0, угол наклона касательной тупой.
- Если f'(x0) = 0, касательная параллельна оси абсцисс.
- Если производная положительна на промежутке, функция возрастает на этом промежутке.
- Если производная отрицательна на промежутке, функция убывает на этом промежутке.
- При переходе через точку максимума производная меняет знак с плюса на минус.
- При переходе через точку минимума производная меняет знак с минуса на плюс.
- Критическими являются внутренние точки области определения, где производная равна нулю или не существует.
Видео
Видео скоро появится
Материалы по теме уже доступны, а видео добавим позже.
Главное по теме
Производная связывает локальный наклон графика со свойствами функции: по ее значению находят угол наклона касательной, а по знаку определяют возрастание, убывание и экстремумы.
Ключевые понятия
Секущая
Прямая, проходящая через две точки графика функции.
Касательная
Предельное положение секущей при приближении второй точки графика к точке касания.
Критическая точка
Внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна нулю или не существует.
Точка максимума
Точка, при переходе через которую производная при выполнении условий признака меняет знак с плюса на минус.
Точка минимума
Точка, при переходе через которую производная при выполнении условий признака меняет знак с минуса на плюс.
Формулы
Угловой коэффициент секущей
tg β = Δf / Δx
- β Угол наклона секущей к оси абсцисс
- Δf Приращение функции
- Δx Приращение аргумента
Геометрический смысл производной
tg α = f'(x0)
- α Угол наклона касательной к оси абсцисс
- x0 Абсцисса точки касания
Признак возрастания
f'(x) > 0
Признак убывания
f'(x) < 0
Как это работает
f'(x) > 0 в каждой точке промежутка
Функция возрастает на этом промежутке.
f'(x) < 0 в каждой точке промежутка
Функция убывает на этом промежутке.
Производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку
При выполнении условий признака эта точка является точкой максимума.
Производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку
При выполнении условий признака эта точка является точкой минимума.
Что нужно запомнить
- tg α = f'(x0).
- Положительная производная соответствует возрастанию функции.
- Отрицательная производная соответствует убыванию функции.
- Смена знака производной с плюса на минус указывает на максимум.
- Смена знака производной с минуса на плюс указывает на минимум.
- Условие f'(x0) = 0 само по себе еще не гарантирует наличие экстремума.
Проверь себя
Вопрос 1 из 4
Чему равен тангенс угла наклона касательной в точке x0?
По геометрическому смыслу производной tg α = f'(x0).
Вопрос 2 из 4
Что можно сказать о функции на промежутке, если f'(x) > 0 во всех его точках?
Положительная производная является признаком возрастания функции.
Вопрос 3 из 4
Как меняет знак производная при переходе через точку максимума?
Слева от точки максимума функция возрастает, а справа убывает.
Вопрос 4 из 4
Какие точки называют критическими?
Такое определение критической точки дано в источнике.