Алгебра
10 класс
·
§ 6
Функции y = tg x и y = ctg x. Их свойства и графики
Учебник:
Алгебра : учебное пособие для 10-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко - Минск: Народная асвета, 2019. ISBN 978-985-03-3152-6 · § 6
Содержание
Главное за минуту
Функция y = tg x определена при x ≠ π/2 + πn, а y = ctg x - при x ≠ πn. Обе функции принимают любые действительные значения, являются нечетными и имеют период π. Тангенс возрастает на каждом промежутке своей непрерывности, а котангенс убывает.
Что нужно понять
- D(tg x) содержит все действительные числа, кроме x = π/2 + πn.
- D(ctg x) содержит все действительные числа, кроме x = πn.
- Множество значений обеих функций - все действительные числа.
- Наименьший положительный период tg x и ctg x равен π.
- Обе функции являются нечетными.
- Нули tg x: x = πn, n ∈ Z.
- Нули ctg x: x = π/2 + πn, n ∈ Z.
- Тангенс положителен в первой и третьей координатных четвертях.
- Котангенс также положителен в первой и третьей четвертях.
- Тангенс возрастает на каждом промежутке (-π/2 + πn; π/2 + πn).
- Котангенс убывает на каждом промежутке (πn; π + πn).
Видео
Видео скоро появится
Материалы по теме уже доступны, а видео добавим позже.
Главное по теме
Свойства тангенса и котангенса определяются их выражением через синус и косинус: исключаются значения, при которых знаменатель равен нулю, а графики повторяются с периодом π.
Ключевые понятия
Функция y = tg x
Зависимость, при которой каждому допустимому действительному x соответствует значение tg x.
Функция y = ctg x
Зависимость, при которой каждому допустимому действительному x соответствует значение ctg x.
Формулы
Область определения тангенса
x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z
Область определения котангенса
x ≠ πn, n ∈ Z
Периодичность тангенса
tg(x + π) = tg x
Периодичность котангенса
ctg(x + π) = ctg x
Нечетность тангенса
tg(-x) = -tg x
Нечетность котангенса
ctg(-x) = -ctg x
Что нужно запомнить
- Период тангенса и котангенса равен π.
- Обе функции нечетные.
- Тангенс не определен в нулях косинуса.
- Котангенс не определен в нулях синуса.
- Тангенс возрастает, котангенс убывает на каждом промежутке их определения между соседними исключенными точками.
Проверь себя
Вопрос 1 из 3
Каков период функции y = tg x?
Наименьший положительный период тангенса равен π.
Вопрос 2 из 3
При каких x функция y = ctg x не определена?
Котангенс содержит sin x в знаменателе, а sin x = 0 при x = πn.
Вопрос 3 из 3
Как ведет себя y = tg x на каждом промежутке (-π/2 + πn; π/2 + πn)?
В источнике тангенс указан как возрастающая функция на каждом таком промежутке.